وبلاگ آموزش ها و اخبار متلبی
مکان شما: / / / حداقل مربعات در متلب

حداقل مربعات در متلب

2 دیدگاه /در , /توسط

آموزش حداقل مربعات در متلب (Least Squares & RLS) با مثال‌های عملی

روش حداقل مربعات (Least Squares) یکی از مهم‌ترین و پرکاربردترین روش‌ها در شناسایی سیستم، تخمین پارامتر و تحلیل داده‌های نویزی در مهندسی برق و کنترل است. در این آموزش، حداقل مربعات در متلب را به صورت کاملاً عملی و پروژه‌محور بررسی می‌کنیم و پیاده‌سازی روش‌های مختلف شامل حداقل مربعات کلاسیک، حداقل مربعات بازگشتی (RLS)، حداقل مربعات تعمیم‌یافته (ELS) و روش متغیرهای کمکی (IV) را با مثال‌های عددی و کد آماده MATLAB توضیح می‌دهیم.

در این پست:

  • چند مدل واقعی سیستم شناسایی می‌شوند

  • تأثیر تعداد داده‌ها بر دقت تخمین بررسی می‌شود

  • همگرایی پارامترها تحلیل می‌شود

  • و در نهایت، روش‌ها با یکدیگر مقایسه می‌شوند

تمامی مراحل همراه با کد کامنت‌گذاری شده متلب و نتایج شبیه‌سازی ارائه شده است.

صورت سوال‌ها و مدل‌های شناسایی سیستم

سوال ۱: تخمین پارامتر با روش حداقل مربعات و RLS

فرض کنید سیستم زیر داده شده است که در آن e(t)e(t) نویز سفید با واریانس 0.1 می‌باشد:

حداقل مربعات در متلب را با چند مثال مختلف بررسی می کنیم.
برای آموزش شبیه سازی روش های حداقل مربعات و حداقل مربعات بازگشتی و… در متلب مثال های عملی را با هم بررسی می کنیم.
فرض کنیم چنین سوالاتی مطرح است:
1-سیستم زیر را در نظر بگیرید که در آن ) e(tنویز سفید با واریانس 0/1است.

فرض کنید پارامترهای سیستم برابر باشند با:

  • a=0.7a = 0.7

  • b=2b = 2

با استفاده از روش‌های زیر:

  • الف) حداقل مربعات (LS)

  • ب) حداقل مربعات بازگشتی (RLS)

پارامترهای و b را تخمین بزنید، تغییرات آن‌ها را نسبت به تعداد تکرارها رسم کرده و نحوه همگرایی تخمین‌ها را توضیح دهید. سپس عملکرد روش‌ها را با یکدیگر مقایسه کنید.

سوال ۲: تخمین پارامترهای مدل چندورودی

-2فرض کنید مدل ریاضی سیستم بصورت زیر است

ورودي uبه سیستم و خروجی yبه صورت زیر است پارامترهاي a0و b0و b1را با روش حداقل مربعات تخمین بزنید.

سوال ۳: شناسایی سیستم با ورودی PRBS و مقایسه روش‌ها

-3سیستم

با ورودي PRBSکه داراي دامنه ±1است در نظر بگیرید با فرض ) e(tنویز سفید با واریانس واحد شبیه سازي کنیددو
مدل براي سیستم زیر در نظر بگیرید

با در نظر گرفتن N=100این مدلها را با روش هاي

  • حداقل مربعات (LS)

  • حداقل مربعات تعمیم‌یافته (ELS)

  • روش متغیرهای کمکی (IV)

تخمین زده و با هم مقایسه کنید.

کد آماده متلب برای شبیه‌سازی روش حداقل مربعات

در ادامه، کد کامل متلب برای پیاده‌سازی تمامی سوالات بالا قرار داده شده است. این کد به صورت مرحله‌به‌مرحله کامنت‌گذاری شده و به شما کمک می‌کند فرآیند شناسایی سیستم و تخمین پارامترها را به صورت عملی مشاهده کنید.

🔹 نکته: کد زیر شامل پیاده‌سازی روش‌های LS، RLS، ELS و IV بوده و اثر تعداد داده‌ها بر دقت تخمین را نمایش می‌دهد.

با پروژه آماده متلب که در زیر قرار داده شده و آموزش آن با کامنت گذاری مشخص شده است بخوبی میتوان همه مراحل را دید:

=================================

clc;پاک کردن صفحه متلب

clear all;پاک کردن متغیرهای گذشته و بلا استفاده

close all;بستن نمودارهای باز

%==========================================================================

%Q1سوال شماره 1

a=0.7;مقدار پارامتر

b=2;مقدار پارامتر

sigm_e=0.1;واریانس نویز

N=100;تعداد داده ها

N1=N;متغیر کمکی برای ذخیره تعداد داده ها

y=zeros(1,N);تعریف بردار خروجی

u=50*idinput(N);ورودی شناسایی

ep=wgn(1,N,0);نویز سفید

sigm_ep=1/(N)*sum(ep.^2);واریانس نویز

e=sqrt(sigm_e/(sigm_ep))*ep;ایجاد نویز با واریانس مورد نظر

جمع آوری داده از سیستم

for t=2:N

y(t)=-a*y(t-1)+b*u(t-1)+e(t);

end

y1=y;u1=u;

ترسیم داده های شناسایی

figure (1)

subplot(2,1,1);stairs(1:1:N,y,’b’,’linewidth’,2);grid on;axis([1 N -400 400]);ylabel(‘y’);

subplot(2,1,2);stairs(1:1:N,u,’b’,’linewidth’,2);grid on;axis([1 N -60 60]);ylabel(‘u’);xlabel(‘sample’);

%Least squaresروش حداقل مربعات

Phi=zeros(N-1,2);ماتریس داده ها

Y=zeros(N-1,1);بردار خروجی

for t=2:N

Phi(t,:)=[-y(t-1),u(t-1)];

Y(t)=y(t);

end

teta=(Phi.’*Phi)\Phi.’*Y;محاسبه پارامترها

teta1=teta;

نمایش مقادیر داده در صفحه متلب

disp(‘Q1: Least squares estimation for N=100’);

disp(‘estimated a=’);disp(teta(1));

disp(‘estimated b=’);disp(teta(2));

N=200;تکرار شبیه سازی برای تعداد داده های بیشتر

N2=N;

y=zeros(1,N);

u=50*idinput(N);

ep=wgn(1,N,0);

sigm_ep=1/(N)*sum(ep.^2);

e=sqrt(sigm_e/(sigm_ep))*ep;

for t=2:N

y(t)=-a*y(t-1)+b*u(t-1)+e(t);

end

y2=y;u2=u;

Phi=zeros(N-1,2);

Y=zeros(N-1,1);

for t=2:N

Phi(t,:)=[-y(t-1),u(t-1)];

Y(t)=y(t);

end

teta=(Phi.’*Phi)\Phi.’*Y;

teta2=teta;

disp(‘Q1: Least squares estimation for N=200’);

disp(‘estimated a=’);disp(teta(1));

disp(‘estimated b=’);disp(teta(2));

N=300;تکرار شبیه سازی برای تعداد داده های بیشتر

N3=N;

y=zeros(1,N);

u=50*idinput(N);

ep=wgn(1,N,0);

sigm_ep=1/(N)*sum(ep.^2);

e=sqrt(sigm_e/(sigm_ep))*ep;

for t=2:N

y(t)=-a*y(t-1)+b*u(t-1)+e(t);

end

y3=y;u3=u;

Phi=zeros(N-1,2);

Y=zeros(N-1,1);

for t=2:N

Phi(t,:)=[-y(t-1),u(t-1)];

Y(t)=y(t);

end

teta=(Phi.’*Phi)\Phi.’*Y;

teta3=teta;

disp(‘Q1: Least squares estimation for N=300’);

disp(‘estimated a=’);disp(teta(1));

disp(‘estimated b=’);disp(teta(2));

N=400;تکرار شبیه سازی برای تعداد داده های بیشتر

N4=N;

y=zeros(1,N);

u=50*idinput(N);

ep=wgn(1,N,0);

sigm_ep=1/(N)*sum(ep.^2);

e=sqrt(sigm_e/(sigm_ep))*ep;

for t=2:N

y(t)=-a*y(t-1)+b*u(t-1)+e(t);

end

y4=y;u4=u;

Phi=zeros(N-1,2);

Y=zeros(N-1,1);

for t=2:N

Phi(t,:)=[-y(t-1),u(t-1)];

Y(t)=y(t);

end

teta=(Phi.’*Phi)\Phi.’*Y;

teta4=teta;

disp(‘Q1: Least squares estimation for N=400’);

disp(‘estimated a=’);disp(teta(1));

disp(‘estimated b=’);disp(teta(2));

ترسیم درصد خطای نسبی تخمین پارامترها بر حسب تعداد داده ها

Nv=[100,200,300,400];

Er_Nv_a=[abs(a-teta1(1))/a,abs(a-teta2(1))/a,abs(a-teta3(1))/a,abs(a-teta4(1))/a]*100;

Er_Nv_b=[abs(b-teta1(2))/b,abs(b-teta2(2))/b,abs(b-teta3(2))/b,abs(b-teta4(2))/b]*100;

figure (2)

subplot(2,1,1);bar(Nv,Er_Nv_a,’b’);xlabel(‘N’);ylabel(‘a relative error (%)’);

subplot(2,1,2);bar(Nv,Er_Nv_b,’b’);xlabel(‘N’);ylabel(‘b relative error (%)’);

%Recursive least squaresروش حداقل مربعات بازگشتی

lmbd=0.98;ضریب فراموشی

P=1e6*eye(2); ماتریس

teta_rls1=zeros(2,N1);ماتریس تخمین ها

تخمین حداقل مربعات بازگشتی

for t=2:N1

phi=[-y1(t-1);u1(t-1)];

Kt=P*phi/(lmbd*eye(1)+phi.’*P*phi);

P=(eye(2)-Kt*phi.’)*P/lmbd;

teta_rls1(:,t)=teta_rls1(:,t-1)+Kt*(y1(t)-phi.’*teta_rls1(:,t-1));

end

ترسیم پارامترهای تخمینی به روش حداقل مربعات و مقادیر واقعی و مقادیر روش قبل

figure (3)

subplot(2,1,1);stairs(1:N1,teta1(1)*ones(1,N1),’b’,’linewidth’,2);grid on;

hold on;

stairs(1:N1,teta_rls1(1,:),’g’,’linewidth’,2);

hold on;

stairs(1:N1,a*ones(1,N1),’r’,’linewidth’,2);

legend(‘LS for N=100′,’RLS for N=100′,’a=0.7’);

subplot(2,1,2);stairs(1:N1,teta1(2)*ones(1,N1),’b’,’linewidth’,2);grid on;

hold on;

stairs(1:N1,teta_rls1(2,:),’g’,’linewidth’,2);

hold on;

stairs(1:N1,b*ones(1,N1),’r’,’linewidth’,2);

legend(‘LS for N=100′,’RLS for N=100′,’b=2’);

%==========================================================================

%Q2سوال شماره 2

u=[1,0.8,0.6,0.4,0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,0.8,0.6,0.4,0.2];

y=[0.9,2.5,2.4,1.3,1.2,0.8,0,0.9,1.4,1.9,2.3,2.4,2.3,1.3,1.2];

N=length(u);

ترسیم داده های شناسایی

figure (4)

subplot(2,1,1);stairs(1:1:N,y,’b’,’linewidth’,2);grid on;axis([1 N -1 4]);ylabel(‘y’);

subplot(2,1,2);stairs(1:1:N,u,’b’,’linewidth’,2);grid on;axis([1 N -1 2]);ylabel(‘u’);xlabel(‘sample’);

Phi=zeros(N-1,3);

Y=zeros(N-1,1);

for t=2:N

Phi(t,:)=[-y(t-1),u(t),u(t-1)];

Y(t)=y(t);

end

teta=(Phi.’*Phi)\Phi.’*Y;تخمین پارامترها

disp(‘Q2: Least squares estimation’);

disp(‘estimated a1=’);disp(teta(1));

disp(‘estimated b0=’);disp(teta(2));

disp(‘estimated b1=’);disp(teta(3));

%==========================================================================

%Q3سوال شماره 3

پارامترها

a=-0.9;

b0=1;

b1=0.5;

c=1;

sigm_e=1;

N=200;

y=zeros(1,N);

u=idinput(N);

ep=wgn(1,N,0);

sigm_ep=1/(N)*sum(ep.^2);

e=sqrt(sigm_e/(sigm_ep))*ep;

for t=3:N

y(t)=-a*y(t-1)+b0*u(t-1)+b1*u(t-2)+c*e(t);

end

figure (5)

subplot(2,1,1);stairs(1:1:N,y,’b’,’linewidth’,2);grid on;axis([1 N -20 20]);ylabel(‘y’);

subplot(2,1,2);stairs(1:1:N,u,’b’,’linewidth’,2);grid on;axis([1 N -2 2]);ylabel(‘u’);xlabel(‘sample’);

% Model A — Least squares تخمین جداقل مربعات برای مدل اول

Phi=zeros(N-1,3);

Y=zeros(N-1,1);

for t=3:N

Phi(t,:)=[-y(t-1),u(t-1),u(t-2)];

Y(t)=y(t);

end

teta=(Phi.’*Phi)\Phi.’*Y;

disp(‘Q3: Least squares estimation’);

disp(‘estimated a=’);disp(teta(1));

disp(‘estimated b0=’);disp(teta(2));

disp(‘estimated b1=’);disp(teta(3));

%Model A — Extended Least squares تخمین حداقل مربعات تعمیم یافته برای مدل اول

Phi=zeros(N-1,4);

Y=zeros(N-1,1);

teta0=[teta(1);teta(2);teta(3);1];

teta=teta0;

for t=3:N

Phi(t,:)=[-y(t-1),u(t-1),u(t-2),y(t-1)-Phi(t-1,:)*teta];

Y(t)=y(t);

if (t<10)

teta=teta0;

else

teta=(Phi(1:t,:).’*Phi(1:t,:))\Phi(1:t,:).’*Y(1:t);

end

end

disp(‘Q3: Extended Least squares estimation’);

disp(‘estimated a=’);disp(teta(1));

disp(‘estimated b0=’);disp(teta(2));

disp(‘estimated b1=’);disp(teta(3));

disp(‘estimated c=’);disp(teta(4));

%Model A — Instrumental variables روش متغیرهای کمکی

Phi=zeros(N-1,3);

Z=zeros(N-1,3);

Y=zeros(N-1,1);

for t=4:N

Phi(t,:)=[-y(t-1),u(t-1),u(t-2)];

Z(t,:)=[u(t-1),u(t-2),u(t-3)]; متغیرهای کمکی انتخاب شده

Y(t)=y(t);

end

teta=(Z.’*Phi)\Z.’*Y;تخمین پارامترها

disp(‘Q3: Instrumental variable estimation’);

disp(‘estimated a=’);disp(teta(1));

disp(‘estimated b0=’);disp(teta(2));

disp(‘estimated b1=’);disp(teta(3));

% Model B — Least squares روش حداقل مربعات برای مدل دوم

Phi=zeros(N-1,3);

Y=zeros(N-1,1);

for t=3:N

Phi(t,:)=[-y(t-1),u(t-1),u(t-2)];

Y(t)=y(t);

end

teta=(Phi.’*Phi)\Phi.’*Y;

disp(‘Q3: Least squares estimation’);

disp(‘estimated a=’);disp(teta(1));

disp(‘estimated b0=’);disp(teta(2));

disp(‘estimated b1=’);disp(teta(3));

%Model B — Extended Least squares روش حداقل مربعات تعمیم یافته برای مدل دوم

Phi=zeros(N-1,5);

Y=zeros(N-1,1);

teta0=[teta(1);teta(2);teta(3);1;1];

teta=teta0;

for t=3:N

Phi(t,:)=[-y(t-1),u(t-1),u(t-2),y(t-1)-Phi(t-1,:)*teta,y(t-2)-Phi(t-2,:)*teta];

Y(t)=y(t);

if (t<10)

teta=teta0;

else

teta=(Phi(1:t,:).’*Phi(1:t,:))\Phi(1:t,:).’*Y(1:t);

end

end

disp(‘Q3: Extended Least squares estimation’);

disp(‘estimated a=’);disp(teta(1));

disp(‘estimated b0=’);disp(teta(2));

disp(‘estimated b1=’);disp(teta(3));

disp(‘estimated c0=’);disp(teta(4));

disp(‘estimated c1=’);disp(teta(5));

%Model B — Instrumental variables روش متغیرهای کمکی برای مدل دوم

Phi=zeros(N-1,5);

Z=zeros(N-1,5);

Y=zeros(N-1,1);

teta0=[teta(1);teta(2);teta(3);1;1];

teta=teta0;

for t=6:N

Phi(t,:)=[-y(t-1),u(t-1),u(t-2),y(t-1)-Phi(t-1,:)*teta,y(t-2)-Phi(t-2,:)*teta];

Z(t,:)=[u(t-1),u(t-2),u(t-3),y(t-4),y(t-5)]; متغیرهای کمکی

Y(t)=y(t);

if (t<10)

teta=teta0;

else

teta=(Z(1:t,:).’*Phi(1:t,:))\Z(1:t,:).’*Y(1:t);

end

end

disp(‘Q3: Instrumental variables estimation’);

disp(‘estimated a=’);disp(teta(1));

disp(‘estimated b0=’);disp(teta(2));

disp(‘estimated b1=’);disp(teta(3));

disp(‘estimated c0=’);disp(teta(4));

disp(‘estimated c1=’);disp(teta(5));

نگران نباشید ما این کد آماده متلب را در انتهای همین پست برای شما قرار داده ایم.

نتایج شبیه‌سازی حداقل مربعات در متلب

در تصاویر زیر، نتایج شبیه‌سازی شامل:

  • همگرایی پارامترهای تخمینی

  • مقایسه LS و RLS

  • تأثیر افزایش تعداد داده‌ها

  • و عملکرد روش‌های تعمیم‌یافته

نمایش داده شده است.حداقل مربعات در متلب حداقل مربعات در متلب حداقل مربعات در متلب حداقل مربعات در متلب
حداقل مربعات در متلب

دانلود ام فایل حداقل مربعات در متلب

جمع‌بندی و نتیجه‌گیری

در این آموزش، روش‌های مختلف حداقل مربعات در متلب برای شناسایی سیستم‌های دینامیکی بررسی شد. نتایج نشان می‌دهد که:

  • با افزایش تعداد داده‌ها، دقت تخمین پارامترها افزایش می‌یابد

  • روش RLS برای کاربردهای آنلاین و تطبیقی مناسب‌تر است

  • روش‌های ELS و IV در حضور نویز همبسته عملکرد بهتری دارند

این آموزش می‌تواند به عنوان یک مرجع کامل برای مهندسین برق، کنترل و شناسایی سیستم مورد استفاده قرار گیرد.

اگر زمان یا تجربه کافی برای پیاده‌سازی این روش‌ها در متلب را ندارید،
انجام پروژه حداقل مربعات و شناسایی سیستم در متلب را به ما بسپارید.

شاید علاقه مند باشید مطالب دیگر سایت متلبی را نیز ببینید:

2 پاسخ

دیدگاه خود را ثبت کنید

تمایل دارید در گفتگوها شرکت کنید؟
در گفتگو ها شرکت کنید.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

Doc-text Doc-text فرم ثبت سفارش
Basket Basket فروشگاه متلبی
Docs Docs وبلاگ متلبی
User-add User-add دعوت به همکاری
Megaphone Megaphone تبلیغات در متلبی

متلبی با بیش از یک دهه تجربه و فعالیت در زمینه انجام پروژه های صنعتی, تجاری و آموزشی به صورت تخصصی با کلیه نرم افزارهای مهندسی فعالیت دارد.

سایت متلبی با ضمانت هزینه, سفارشات را با بهترین کیفیت و در کمترین زمان ممکن توسط بهترین متخصصین مربوطه انجام میدهد.

آنچه سایت متلبی را از سایرین متمایز می کند انجام پروژه به همراه آموزش و ارائه پشتیبانی قوی آن است.

بانک عظیم و منحصر بفرد مقالات شبیه سازی شده در قالب مباحث آموزشی و کمک آموزشی را در فروشگاه متلبی میتوان یافت, که با تضمین هزینه و پشتیبانی, قبل و بعد از خرید می باشد.

انجام پروژه متلب تنها یکی از خدمات نرم افزاری سایت متلبی است و تمامی سفارشات برنامه نویسی و شبیه سازی با کلیه نرم افزارها قابل انجام است.

ثبت شده در ستاد ساماندهی پایگاه های اینترنتی (مرکز فن آوری دیجیتال)

دانلود رایگان مقالات ، مجلات، کتاب‌های مرجع از سایت‌های معتبر...دانلود رایگان مقالاتدانلود نرم افزار متلب MATHWORKS MATLAB R2018Aدانلود نرم افزار متلب MATLAB R2018a